From: Subject: L'EFFET DOPPLER Date: Tue, 9 Nov 2004 22:55:42 +0100 MIME-Version: 1.0 Content-Type: multipart/related; type="text/html"; boundary="----=_NextPart_000_003D_01C4C6AF.3DAE8340" X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V6.00.2900.2180 This is a multi-part message in MIME format. ------=_NextPart_000_003D_01C4C6AF.3DAE8340 Content-Type: text/html; charset="Windows-1252" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Content-Location: http://www.dstu.univ-montp2.fr/PERSO/magnan/doppler.html L'EFFET DOPPLER

L'EFFET DOPPLER



Un r=E9cepteur re=E7oit le rayonnement =E9mis = par une source.=20 Lorsque le r=E9cepteur et la source se d=E9placent l'un par rapport =E0 = l'autre, la=20 longueur d'onde =E0 la r=E9ception diff=E8re de la longueur d'onde =E0 = l'=E9mission.=20
Formules classiques et relativistes...


Christian = Magnan
Coll=E8ge=20 de France, Paris
Universit=E9 de=20 Montpellier II

Supposons que je vous envoie des balles =E0 = intervalle=20 r=E9gulier, intervalle de temps que nous noterons=20 Tem  et qui constitue la p=E9riode = du=20 ph=E9nom=E8ne, telle que je la mesure =E0 l'=E9mission. La vitesse des = balles sera not=E9e=20 c de sorte que la distance entre deux balles (c'est-=E0-dire la = longueur=20 d'onde du ph=E9nom=E8ne p=E9riodique) est =E9gale =E0 c=20 Tem . Si vous vous =E9loignez de moi dans la = m=EAme=20 direction que les balles (avec une vitesse qualifi=E9e de = =AB radiale =BB),=20 vous allez cependant recevoir ces balles =E0 une cadence inf=E9rieure = car chaque=20 balle aura =E0 parcourir, du fait de votre =E9loignement, une distance=20 sup=E9rieure =E0 la longueur du trajet effectu=E9 par la balle = qui la pr=E9c=E8de.=20

La distance suppl=E9mentaire qu'une balle doit = parcourir=20 par rapport =E0 la pr=E9c=E9dente est la distance que vous allez couvrir = (vous, le=20 r=E9cepteur) dans l'intervalle de temps qui s=E9pare la r=E9ception de = la premi=E8re=20 balle et la r=E9ception de la deuxi=E8me. Nous conviendrons d'appeler=20 Trec cet intervalle de temps, lequel = constitue en=20 fait la p=E9riode du ph=E9nom=E8ne telle que vous l'observez =E0 = la r=E9ception.=20

=C9crivons alors que la distance totale = parcourue par la=20 deuxi=E8me balle pendant le temps Trec = =E0 la vitesse=20 c est la somme de la distance qu'elle aurait parcourue si vous = =E9tiez=20 rest=E9(e) au repos et de la distance que vous avez parcourue = r=E9ellement =E0 la=20 vitesse v. Alg=E9briquement nous =E9crivons :=20

c Trec = =3D c=20 Tem  + v Trec . (1)

Nous en d=E9duisons :=20

Trec =3D = Tem  / [1 - (v/c)] . (2)

La vitesse v peut =EAtre positive (vous = vous=20 =E9loignez, comme dans le raisonnement) ou n=E9gative (dans ce cas vous = vous=20 rapprochez). On constate que si vous vous =E9loignez =E0 une vitesse = sup=E9rieure =E0 la=20 vitesse des balles c, vous ne recevez plus aucune balle = (alg=E9briquement,=20 Trec  tend vers l'infini quand v tend vers = c et si v augmente encore la formule (2) n'a plus de = sens).=20

Supposons que ce soit moi maintenant qui me = d=E9place, en=20 m'=E9loignant de vous =E0 la vitesse v. Les balles seront plus = espac=E9es les=20 unes des autres car pendant le temps Tem  qui = s=E9pare deux=20 lancers, j'aurai recul=E9 de la distance v=20 Tem . Cette quantit=E9 mesure l'accroissement = de=20 l'intervalle de distance entre les balles, lequel passera donc de = c=20 Tem  =E0 (c + v)=20 Tem , quantit=E9 qui repr=E9sente la nouvelle = longueur=20 d'onde du ph=E9nom=E8ne c Trec . = Comme dans le=20 cas pr=E9c=E9dent, continuons =E0 raisonner sur la p=E9riode=20 Trec  du ph=E9nom=E8ne, qui devient = (temps =3D=20 distance sur vitesse) :=20

Trec =3D = Tem ( c + v ) / c = (3)

ou=20

Trec =3D = Tem [ 1 + (v / c ) ] . = (4)

L'effet Doppler est l'effet d=E9crit par les = formules (2)=20 et (4). Il correspond au changement de p=E9riode (et donc de = fr=E9quence, la=20 fr=E9quence =E9tant l'inverse de la p=E9riode) que subit un = ph=E9nom=E8ne p=E9riodique=20 quelconque (onde sonore, onde lumineuse, etc) lorsque la distance entre=20 l'=E9metteur et le r=E9cepteur varie. En astronomie on s'int=E9resse au = changement de=20 fr=E9quence de la lumi=E8re lorsque l'astre =E9metteur s'=E9loigne (cas = fr=E9quent, d'o=F9=20 la convention de signe adopt=E9e) ou se rapproche.=20

Si l'on tient compte des effets relativistes, = les=20 formules (1) =E0 (4) sont =E0 modifier et conduisent =E0 une seule = formule, sym=E9trique=20 par rapport =E0 l'=E9metteur et au r=E9cepteur, de sorte qu'il n'est = plus besoin de=20 pr=E9ciser qui se d=E9place (ce qui est rassurant en relativit=E9 = puisque celle-ci a=20 pr=E9cis=E9ment =E9t=E9 con=E7ue dans ce but !). Nous avons vu en = effet dans un autr= e=20 encadr=E9 que les horloges ralentissent dans le rep=E8re en = mouvement, ce qui=20 rend les temps mesur=E9s plus courts du fameux facteur =  [ 1 -=20 (v / c )2 ]=BD  par = rapport au=20 rep=E8re immobile. En introduisant ce facteur dans la formule (2) pour = le temps=20 Trec correspondant au rep=E8re en = mouvement (le=20 r=E9cepteur) et dans la formule (4) pour le temps=20 Tem  (c'est l'=E9metteur qui est en=20 mouvement), on aboutit =E0 la formule unique=20

Trec =3D = Tem ( 1 + ) = / (=20 1 - &nb= sp;2=20 ) =BD . (5)

o=F9=20

= =3D=20 v / c . (6)

En utilisant maintenant la longueur d'onde du=20 rayonnement, on peut =E9crire le rapport de la longueur d'onde re=E7ue = <= SUB>rec=20 =E0 la longueur d'onde =E9mise <= SUB>em=20 comme=20

<= SUB>rec=20 / <= SUB>em=20 =3D ( 1 + ) = / (=20 1 - &nb= sp;2=20 ) =BD . (7)

Lorsque la vitesses relative de d=E9placement = de la source=20 et du r=E9cepteur est petite par rapport =E0 la vitesse de la lumi=E8re, = c'est-=E0-dire=20 lorsque   = 1 = , le=20 facteur Doppler peut se calculer pratiquement par la formule plus connue =

<= SUB>rec=20 / <= SUB>em=20 =3D 1 + =20   , (8)

=E9quivalente =E0=20

= = /=20 = =3D=20 =20 =20 v / c   , (9)

o=F9   = &= nbsp;=20 est le d=E9calage en longueur d'onde.=20

Une derni=E8re pr=E9cision : d'apr=E8s le = raisonnement,=20 l'effet Doppler ne r=E9sulte que de la variation de distance entre = source et=20 r=E9cepteur et ne fait donc intervenir que la composante=20 vrad de la vitesse le long de la = direction de la=20 lumi=E8re (ou composante radiale). En revanche la correction relativiste = de=20 ralentissement d'horloge prend en compte la vitesse totale v. Les = d=E9tails=20 du calcul sont subtils car par exemple les changements de rep=E8re en = relativit=E9=20 affectent les mesures d'angle et donc la direction de la lumi=E8re = (c'est l'effet=20 d'aberration) = de=20 sorte que la vitesse radiale n'est pas la m=EAme dans un rep=E8re et = dans l'autre.=20 La formule g=E9n=E9rale correspondant =E0 l'effet global observ=E9 est, = en mesurant la=20 vitesse radiale dans le rep=E8re du r=E9cepteur (la Terre) et en = la comptant=20 comme positive en cas d'=E9loignement de la source :=20

<= SUB>rec=20 / <= SUB>em=20 =3D [ 1 + ( vrad / c ) = rec ] / [=20 1 - ( v / c ) 2 ] =BD =  =20 . (10)

La th=E9orie esquiss=E9e dans cette annexe ne = pr=E9tend pas=20 =E9puiser le sujet de l'effet Doppler. Pour r=E9soudre enti=E8rement le = probl=E8me, il=20 faut en passer par les formules de changement de rep=E8res de la = relativit=E9 (qu'on=20 appelle les transformations de Lorentz ). Pour illustrer le caract=E8re = abstrait=20 du formalisme mis en oeuvre et l'impossibilit=E9 de le remplacer par de = simples=20 raisonnements physiques) indiquons par exemple que si on exprime les = angles (et=20 donc la vitesse radiale) dans le rep=E8re de l'=E9metteur = (l'=E9toile), la=20 formule (10) devient :=20

<= SUB>rec=20 / <= SUB>em=20 =3D [ 1 - ( v / c ) 2 ] = =BD / [ 1 - (=20 vrad / c ) em ] =   .=20 (11)

C'est une simple question de calcul ! Pas = seulement=20 de bon sens...=20


D'apr=E8s un extrait du livre de Christian=20 Magnan,
La = nature=20 sans foi ni loi,
=C9ditions Belfond/Sciences = (1988)		 Derni=E8re mise =E0 jour : 13 = septembre=20 1999

Questions de = cosmologie
Page d'accueil de Christian=20 Magnan


=20

URL : =  http://www.isteem.univ-montp2.fr/PERSO/magnan/doppler.html=20

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